幾何学の基礎をなす仮説について (ちくま学芸文庫)

幾何学の基礎をなす仮説について (ちくま学芸文庫)の詳細

「幾何学の基礎をなす仮説(仮定)について」は1854年6月10日に行われた就任講演で、リーマン幾何が提案された講演である。この本は、それにWeyl（空間・時間・物質〈上〉 (ちくま学芸文庫)の著者）が1919年に詳しい解説を付けたものである。日本語訳者によるリーマン幾何の解説もある。この本には、ミンコフスキーがミンコフスキー空間を提案した講演「空間と時間」も併収されている。日本語訳者による特殊相対論の解説もある。「幾何学の基礎をなす仮説(仮定)について」では、Weylが序文で「この講演の最後の節における、数学以上の議論は、全く予言といわざるをえないほどの、驚くべき明確さをもって、アインシュタインの重力論の結果と一致する」と言っているように、一般相対論が予言されているように感じる。また、リーマンは「空間で量を測定する際に基礎となる経験的概念である剛体と光線の概念は、無限小においては適用されないように思われる。」と言っており、ミクロな世界でのリーマン幾何の破綻をも予言している。リーマンには、一般相対論とその先が見えていたのだろうか？ (この講演は一般相対論完成の61年前のものである。非ユークリッド幾何は、この講演の30年前までは存在しなかったし、おそらくリーマンはそれを知らなかった)。リーマンはイントロで、リーマン面のような計量によらない多様体や、与えられた区間内での可能な関数の集合のような連続(次元)多様体にも言及している。また、線素dsの4乗がdxの4次形式となる幾何学について2度言及しているし、より一般の幾何学(フィンスラー幾何?)にも言及している。リーマンのこの講演の重要性は計り知れないが、併収されているミンコフスキーの「空間と時間」も重要で、彼によって時空という概念が生み出された。ミンコフスキーは、ローレンツ群はガリレイ群より数学的には理解しやすいのだから、数学者はもっと早く、物理法則は実はローレンツ不変なのだと気づいても良かったはずだ、というような事を言っていて面白い。この本の次に空間・時間・物質〈上〉 (ちくま学芸文庫)や近藤 洋逸『新幾何学思想史 (ちくま学芸文庫)』などを読むと良いかもしれない。前者では、一般の連続体→アフィン接続が与えられた空間→Weyl空間の順に解説があり、Weylの統一場理論（ゲージ理論の「ゲージ」はこの理論に由来する）にたどり着く。後者は、非ユークリッド幾何の歴史・思想に詳しい。サッケーリ, ランベルト, ガウス, ロバチェフスキー, ボヤイ父子, リーマンにそれぞれ1章ずつ当てられている(特に、リーマンの章が長い)。修正・付記(2015/2/22)(1)講演のイントロ(17ページ)で言及されるガウスの「平方剰余に関する二度目の論文」とは、4次剰余の第2論文(ガウス平面, ガウス整数が導入された有名な論文)のことである。(2)リーマンは(n次元の)曲率の概念を言葉で説明しているが、やや難解である。Weylによる解説を見ると意味が分かる。(3)リーマンは何度か(可算個の要素からなる？)離散多様体にも言及している。これについてのリーマンの考察はおそらく深くはないが、何か示唆的な気がする(量子重力において。例えば、自然数と実数の間の濃度の多様体など)。(4)リーマンの講演を聞いたガウスが(珍しく)非常に感激し、ヴェーバー(物理学者)に、いかに素晴らしい内容だったかを説明したという話は有名である。ガウスは物理的な重要性をも認識したのだろう。付記(2017/5/22)最近、加藤 文元『リーマンの数学と思想 (リーマンの生きる数学 4)』が出た。これは「幾何学の基礎をなす仮説について」の意義について、おそらく今までにない視点で書かれており、大変重要だと思われる。